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在學習數列時我們會遇到這么一種遞推式，如：

其對應的特征根方程為，求出特征根，于是得出，然后...

"等等，你一步究竟是為什么呀?"

(資料圖片)

"你記住這么個結論就行了，方便于你解題，考試不用你推導!"

其實這是很多人都尚未解決的疑點，今兒不妨先脫離教條主義的束縛，讓我們一探究竟！

ps:筆者雖然還不知道前人究竟是怎么想到這個方法的，但我可以盡我所能把這其中的邏輯以及這個方法的合理性講清楚，詳見下文~

由于這是一個二階遞推，因此我們最初的想法是考慮將其移項化為

，然后令是等比數列完成初步降階

(也就是把含3項間的關系向含兩項間的關系轉化，降低難度)

因此，我們需要一個助手來幫我們化成上述形式，因此一位名叫"多項式"的助手來也！

請來的助手長這樣：

然后其進行了如下的騷操作變換：

"遞推式"小兄看后瞬間學會了，于是化成了

于是助手的這一幫助以巨大的成功告終！

但是...其實"遞推式"小兄很懶，因為他只看到了助手最開始和最后的模樣，不過我們還真得慶幸他在中間開小差了，畢竟中間的過程正是小兄學不會的！

ps:下面的文字可能會啰嗦繁瑣些，可以粗略瀏覽，后面那張圖是最重要的

這個故事我想了許久才造出來的，姑且就稱為《小兄的小差》吧，有些尬()

先來解釋下為什么助手能教會小兄？

這是助手的變形：

由于每一步推導都是充要的，因此可以選擇省略中間過程，得：

現在我們把中間的過程先拋之腦后，但看上面這一推導。我們發(fā)現，如果將換成，那么這一推導的充要性依然成立

因為我們可以通過這么一條路徑完成：

在這條路徑中進行上述的替換是沒有任何問題的，因為多項式的運算可以提取系數①，拆解某一項(這里的拆解指如這種運算)②。而①②運用到遞推式中也是可行的，因此，類比上式，我們進行替換得到：

嗯，這很完美！但關鍵問題來了，既然助手能幫上忙，那為啥又不讓小兄從頭到尾學完呢？

有意思的是我們請來的助手雖看上去像個形式記號

(瞧上文，不就是把換成嘛，這么簡單小兄當然能學會了)

但我們利用的正是形式記號不同于原先遞推式的功能！

我們來看到助手中這詭異的第二步！

他居然會因式分解！

這點就無法被小兄學到，因為把一個高次式分成若干個低次式是助手的獨有功能，如，而遞推式中的只是一次的，因此這種明顯就違背遞推式的運算法則了，遞推式是一次，只能進行前文提到的兩種運算：提取系數①，拆解某一項(這里的拆解指如這種運算)②

這就是為什么說是形式記號，因為我們只case這3者在以的形式出現的情況，也只有當這種形式出現時才能類比到遞推式的運算中！

而這一形式記號不只是被湊出來的，正是因為它有把一個高次式分成若干個低次式的獨有功能，才完成了由向的轉化！

仔細思考會發(fā)現這個過程極其的微妙。

如上圖，綠色框框部分是小兄能夠學會的(也就是兩種運算見可以類比的)，紅色部分是助手的獨有功能。

也就是說助手有兩種途徑由到；而小兄只有一種途徑由到。我們請出助手的目的，正是想利用了助手的獨有功能，讓他更快捷地走到，然后再用小兄能學會的方式(也即變形至兩種運算法則相同時)教會他。

我的語言表述可能還不太形象，但上面的這幅圖一定2要仔細斟酌其豐富內涵！其涵蓋了特征根方法的底層邏輯！

因此，現在助手教會了小兄第一步，變形為：

于是是以為首項，3為公比的等比數列，即

①

同理，我們借助助手，化為：

只取第一步和最后一步進行類比，有：

于是是以為首項，2為公比的等比數列，即

②

聯立①②得：

利用助手這一獨有的功能，我們對其進行拓展

設滿足m階線性遞推：(~表系數)，其對應的特征多項式(助手)為：

有這么個記號對應：

現在利用助手的獨有功能快速轉化

設該多項式的根為

那么根據因式定理，其可以分解為：

取定其中一個因式，如取，將剩余部分乘入得：

即

對比左右兩邊，我們發(fā)現左邊多出一個t，右邊多出一個。現在不妨事先思考：倘若我們將左邊展開，那么左邊的展開式每一項一定會比右邊的展開式對應項高1次！(因為多乘了個t)

因此在這一(可類比/模仿的)步中將該記號替換回，即得到其中一個等比數列。

同理，把每個特征根都用一遍，就能得到n個等比數列，以此解方程組即得。

ps:當然，這只是針對一般情況，特殊情況如重根、復數根之類的我們先放一邊。能利用特征多項式(助手)的獨特功能推廣到這一般情況已經是一步質的飛躍了！

另外，特征多項式(助手)在解線性微分方程時也會用上。

引理：(分離變量易得)

比如解微分方程

同樣，我們請出助手

只取第一步和最后一步進行類比，有：

這時恰比高一階，于是作換元得：

即①

同理，助手再進行另一種變形：

只取第一步和最后一步進行類比，有：

這時恰比高一階，于是作換元得：

即②

由①②得：

ps:這里的仍是任意常數，只是區(qū)別于(在解上述方程組中有對應關系)

利用助手這一獨有的功能，我們對其進行拓展

設m階齊次線性微分方程：(~表系數)，其對應的特征多項式(助手)為：

有這么個記號對應：

現在利用助手的獨有功能快速轉化

設該多項式的根為

那么根據因式定理，其可以分解為：

取定其中一個因式，如取，將剩余部分乘入得：

即

對比左右兩邊，我們發(fā)現左邊多出一個t，右邊多出一個。現在不妨事先思考：倘若我們將左邊展開，那么左邊的展開式每一項一定會比右邊的展開式對應項高1次！(因為多乘了個t)

因此在這一(可類比/模仿的)步中將該記號替換回，即得到其中一組解(u為對那個左右剛好差一階的部分換元)。

同理，把每個特征根都用一遍，就能得到n組解，以此解方程組即得。

這里順便再推廣到非齊次線性微分方程：

設(g(x)為待定的函數)，代入得：

待定g(x)，令上面紅色部分相等，即

我們發(fā)現恰好就是原微分方程的一個解，而由于g(x)是待定的，因此取其中一個解即可(即非齊次特解，也即原方程的一個解)

于是上上式紅色部分消掉，就得：

這就是關于的齊次線性微分方程了，因此可能特征根(助手)解之。

又因為前面所設，因此u就是齊次時的通解(即將f(x)去掉后的解)，g(x)為非齊次時的特解(即原方程的一個解)

這便是結論"非齊次通解=齊次通解+非齊次特解"的由來。

更多的例子參考視頻：

【樂正垂星】母函數是可以被理解的？！

ps:視頻作者是位良心的up，建議關注哦

萬萬沒想著，看著令人頭大的離譜的定理背后居然有如此驚人、微妙的數學原理！不妨做一名知識的探索者，在空閑之時嘗試跳出題海去發(fā)掘那些定理背后的底層邏輯，還原數學一份優(yōu)雅的美感！